正負の数の足し算・引き算｜符号と括弧で迷わない計算手順（中1）

正負の数の式では、同じ「＋」「−」でも、数の符号と計算の記号という二つの役割があります。まずは、この違いを式の中で確かめましょう。

数の符号と引き算の記号を区別する

一つの数を括弧で囲んだ式では、括弧の中の「＋」「−」は数の符号、括弧の間の「＋」「−」は計算の記号です。

足し算を加法、その答えを和といいます。引き算は減法、その答えは差です。加法と減法を合わせて「加減」と呼びます。

また、絶対値は数直線上で0からどれだけ離れているかを表す数です。−3の絶対値は3、＋5の絶対値は5。この後は、数の符号と絶対値を分けて使います。

数直線で足し算を考えるときは、最初の数の位置から動きます。正の数を足すなら右へ、負の数を足すなら左へ進み、移動する距離は足す数の絶対値です。たとえば、−2を足すことは左へ2進むことを表します。

同符号は絶対値を足す

正の数どうし、負の数どうしのように、符号が同じ数を同符号の数といいます。どちらの場合も0からさらに離れる向きに進むため、答えの符号はもとの数と同じで、絶対値は二つの絶対値の合計になります。

例 02負の数どうしを足す

（−3）＋（−2）は、−3の位置から左へ2進む計算です。

（−3）＋（−2）＝−5

0から左へ3離れていたところから、さらに左へ2進みます。0からの距離は3＋2＝5になり、位置は0の左側のままなので、答えは−5です。

正の数どうしでも同じで、（＋3）＋（＋2）＝＋5です。同符号なら、絶対値を足して共通の符号を付けます。

「足し算だから答えが大きくなる」とは限りません。負の数を足すと左へ進むので、数は小さくなります。

異符号は絶対値の差を求める

正の数と負の数のように、符号が違う数を異符号の数といいます。右向きと左向きの分が打ち消し合うため、二つの絶対値が違うときは、大きい絶対値から小さい絶対値を引きます。残る向き、つまり答えの符号は、絶対値が大きいほうの数で決まります。

例 030を越えて左へ進む

（＋3）＋（−5）は、＋3から左へ5進む計算です。

（＋3）＋（−5）＝−2

0からの距離は5−3＝2で、0の左側に着くので−2です。絶対値が大きい−5の符号が、答えの符号になります。

反対に、（＋5）＋（−3）なら、右向きの分が2残るので＋2です。比べるのは数そのものの大小ではなく、絶対値の大小です。 ＋3は−5より大きい数ですが、絶対値は3より5のほうが大きいため、例03の答えは負になります。

異符号で絶対値が等しいときは、ちょうど打ち消し合います。（＋4）＋（−4）＝0のように、答えは0です。この場合は、正・負のどちらの符号も付けません。

0を足しても位置は変わりません。たとえば、（−4）＋0＝−4、0＋（−4）＝−4です。

引き算は、引く数の符号を反対にして足す計算に直せます。正の数を引くなら負の数を足し、負の数を引くなら正の数を足します。この決まりは、引き算と足し算が逆の関係にあることから説明できます。

引き算は足し算を逆にたどる

7−2＝5となるのは、5に2を足すと7に戻るからです。同じように、ある数から−5を引く計算は、「−5を足す前の数は何だったか」と考えられます。

例 04マイナスを引くとなぜ足すのか

（−3）−（−5）は、「ある数に−5を足すと−3になる。その数を求める」という計算です。−5を足すと左へ5進むので、その前の位置へ戻るには、−3から右へ5進みます。

（−3）−（−5）
＝（−3）＋（＋5）
＝＋2

−3から右へ5進むことは、＋5を足すことと同じです。実際に、（＋2）＋（−5）＝−3となるので、引き算の答えが＋2だと確かめられます。

正の数を引く場合も、足す操作を逆にたどります。＋3を足すと右へ3進むので、＋3を引くときは左へ3進む、つまり−3を足すことになります。

ここでの「−」は、引き算の記号と負の符号です。「マイナス×マイナス」という掛け算の式ではありません。

変えるのは引く数の符号

足し算に直すときは、最初の数をそのままにします。「引く」を「足す」に変え、それと一緒に、引く数の符号を反対にします。この二つを一組で変えることが大切です。

なお、負の数を引くと、もとの数より大きくなりますが、答えが正になるとは限りません。 たとえば、（−8）−（−3）＝（−8）＋（＋3）＝−5。−8より大きくなっても、まだ0より小さい数です。

0を引くと数は変わりません。（−4）−0＝−4です。0から負の数を引く場合は、0−（−4）＝0＋（＋4）＝4となります。

（＋3）や（−3）の括弧は、符号を含めて一つの数だと分かるように付けたものです。式を短く書くときも、「何を足すか・何を引くか」という意味が変わらない形に直します。

一つの数を囲む括弧を外す

（＋5）＋（−3）のような足し算は、足し算の記号と、数を囲む括弧を省いて＋5−3と書けます。さらに、先頭の正の符号を省けば5−3です。引き算があるときは、先に足し算へ直してから同じように整理できます。

5−（−3）は、5＋（＋3）に直せるので5＋3になります。括弧の前後の記号だけを暗記するより、引き算を足し算に戻して考えると、符号が変わる理由を確かめられます。

加減の混じった式は項で読む

足し算と引き算が混じった式も、引き算をすべて足し算に直すと、符号をもつ数の和になります。このとき、加えられている一つ一つの数を項といいます。項は、符号も含めて読み取ります。

括弧の中が式なら先に計算する

括弧の中に−2＋4のような式が入っているときは、括弧全体が一つの計算のまとまりです。一つの数を囲む括弧と同じつもりで消さず、まず中の計算結果を求めると、ここまでの手順を使えます。

分数になっても、同符号・異符号の足し算や、引き算を足し算に直す決まりは変わりません。加わるのは、分母が違うときに通分して同じ大きさの単位にそろえる手順です。

通分して絶対値を比べる

分母をそろえると、絶対値の大きさを分子で比べられます。また、同じ大きさに分けた分を数えるので、足し引きするのは分子で、分母はそろえた値のままです。

同符号なら、通分した後で絶対値を足します。たとえば、（−14）＋（−12）は、（−14）＋（−24）に直せるので、答えは−34です。

負の分数を引くときも符号を変えて足す

負の分数を引くときは、その分数を正にして足します。最初の数は変えず、引き算を足し算に直した後で通分すると、符号の処理と分数の計算を分けて進められます。

分母どうしを足したり引いたりはしません。符号を整理すること、通分すること、最後に約分することを分けて確かめると、途中の間違いを見つけやすくなります。

正負の数の加減では、符号の役割を読み分けることが、計算の出発点になります。式が長くなったり分数が入ったりしても、次の点を一つずつ確かめられます。

1. 数の符号と計算記号を区別する。 括弧の中の−3は一つの数。数の間の「−」は引き算を表します。
2. 足し算は符号と絶対値で決める。 同符号なら絶対値を足して共通の符号を付けます。異符号なら絶対値の差を求め、絶対値が大きい数の符号を付けます。異符号で絶対値が等しければ0です。
3. 引く数の符号を変えて足す。 最初の数は変えません。負の数を引くと右へ進みますが、答えが必ず正になるわけではありません。
4. 括弧を外しても数の意味を保つ。 加法に直した式は、符号を含めて項を読みます。括弧の中が式なら、まずその計算結果を求めます。
5. 分数は通分してから計算する。 符号の決まりは整数と同じです。分母をそろえ、分子を計算し、約分できるときは約分します。

正負の数の足し算・引き算は、符号をもつ数の足し算としてつながっています。迷ったら引き算を足し算に直し、どちらの符号が残るかを絶対値から確かめましょう。